φ
Onderzoeksproject Wiskunde · 2025–2026
De Gulden
Snede
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887…
Pauline De Lafonteyne · Nicolas Adem · Robbe Willems
Óscar Romerocollege · S. Mettepenningen
Algebra
Fibonacci
Convergentie
Binet
Natuur & Kunst
§2 — Meetkundige definitie
Wat is de gulden snede?
Verdeel een lijnstuk in een groot deel a en klein deel b. We spreken van de gulden snede als:
Definiërende verhouding
a / b = (a + b) / a = φ
1,618
§2 — Wiskundige afleiding
Van verhouding naar vergelijking
1.
Stel x = a/b. Uit de definitie volgt:
(a+b)/a = a/b
⟹ 1 + 1/x = x
2.
Vermenigvuldig met x:
x² − x − 1 = 0
3.
Discriminant: D = 1 + 4 = 5
⟹ x = (1 ± √5) / 2
4.
Omdat x > 0 kiezen we de positieve wortel:
Gulden getal
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887…
ψ = (1 − √5) / 2 ≈ −0,618 (negatieve wortel, later bij Binet)
§3 — Kettingbreuk
φ als oneindige kettingbreuk
Uit de identiteit φ = 1 + 1/φ volgt door recursief substitueren:
φ = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + …))))
DIEPTE: 1 | CONVERGENT:
1
Convergentie naar φ = 1,6180339887…
§4 — Rij van Fibonacci
Fibonacci & convergentie naar φ
Definitie
F₀ = 0, F₁ = 1
Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ (n ≥ 2)
Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ (n ≥ 2)
Quotiënten Fₙ₊₁ / Fₙ
Asymptotisch naar φ ≈ 1,6180…
Numeriek lijkt het verband overtuigend —
maar bewijs volgt via Binet (§5).
maar bewijs volgt via Binet (§5).
1 / 5